PRINCIPALES CASOS DE FACTORIZACIÓN
1. Factor Común
Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro términos o más. No aplica para monomios.
Es el primer caso que se debe inspeccionar cuando se trata de factorizar un polinomio. El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos. Puede ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión algebraica (encerrada en paréntesis) o combinaciones de todo lo anterior.
Cómo realizar la factorización:
De los coeficientes de los términos, se extrae el MCD (Máximo Común Divisor) de ellos.
De las letras o expresiones en paréntesis repetidas, se extrae la de menor exponente.
Se escribe el factor común, seguido de un paréntesis donde se anota el polinomio que queda después de que el factor común ha abandonado cada término.
Ejemplo:
2. Factor Común por Agrupación de Términos
Se aplica en polinomios que tienen 4, 6, 8 o más términos (siempre que el número sea par) y donde ya se ha verificado que no hay factor común (caso 1).
Cómo realizar la factorización:
Se forman grupos de igual número de términos, buscando que exista alguna familiaridad entre los términos agrupados (es decir, que tengan rasgos comunes).
La agrupación se hace colocando paréntesis.
¡CUIDADO! Deben cambiarse los signos de los términos encerrados en el paréntesis si éste queda precedido por signo negativo.
Se extrae factor común de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresión encerrada en paréntesis).
Por último, se extrae factor común de toda la expresión (es decir, nuevamente se aplica el caso 1; en esta ocasión, el factor común es una expresión encerrada en paréntesis).
Ejemplo:
Factorizar:
3. Diferncia de Cuadrados Perfectos
Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo término es negativo.
Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cuadrados perfectos (es decir números que tienen raíz cuadrada exacta, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, etc.) y los exponentes de las letras son cantidades pares (2, 4, 6, 10, 8n, 16b, etc.)
Cómo realizar la factorización:
Ejemplo:
4. Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)
El trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente (cualquiera de las dos).
Tanto el primero como el tercer término deben ser positivos. Asimismo, esos dos términos deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben tener raíz cuadrada exacta). En otras palabras, el primero y el tercer término deben reunir las características de los términos que conforman una Diferencia de Cuadrados Perfectos (Caso 3).
Cómo realizar la factorización:
Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP). Para ello extraemos la raíz cuadrada tanto del primer como del tercer término.
Realizamos el doble producto de las raíces obtenidas y comparamos con el segundo término (sin fijarnos en el signo de éste). Si efectivamente nos da, entonces tenemos un TCP.
La factorización de un TCP es un binomio al cuadrado, que se construye anotando las raíces cuadradas del primer y tercer término, y entre ellas el signo del segundo término.
Ejemplo:
5. Trinomio de la forma x2n+bxn+c
Se abren dos grupos de paréntesis.
Se le extrae la raíz cuadrada al primer término y se anota al comienzo de cada paréntesis.
Se definen los signos: el signo del primer paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del primer y segundotérmino; el signo del segundo paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del segundo y tercer término.
Buscamos dos cantidades que multiplicadas den como resultado el término independiente (es decir c), y que sumadas den como resultado el coeficiente del segundotérmino (es decir b).
Se anotan las cantidades que satisfacen las condiciones anteriores en los espacios en blanco de cada paréntesis, en sus lugares respectivos.
Cómo realizar la factorización:
Se abren dos grupos de paréntesis.
Se le extrae la raíz cuadrada al primer término y se anota al comienzo de cada paréntesis.
Se definen los signos: el signo del primer paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del primer y segundo término; el signo del segundo paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del segundo y tercer término.
Buscamos dos cantidades que multiplicadas den como resultado el término independiente (es decir c), y que sumadas den como resultado el coeficiente del segundo término (es decir b).
Se anotan las cantidades que satisfacen las condiciones anteriores en los espacios en blanco de cada paréntesis, en sus lugares respectivos.
Ejemplos:
6. Trinomio de la forma ax2n+bxn+c
El trinomio debe estar organizado en forma descendente.
El coeficiente principal (es decir, del primer término) debe ser positivo y diferente de uno (a≠1).
El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del grado (exponente) del segundo término.
Cómo realizar la factorización:
Debemos multiplicar y dividir el trinomio por el coeficiente principal, es decir, a.
En el numerador efectuamos la propiedad distributiva teniendo presente que en el segundo término el producto no se realiza sino que se deja expresado: la cantidad que entra y la variable quedan agrupadas dentro de un paréntesis y el coeficiente original queda por fuera.
Se expresa el primer término como el cuadrado de lo que quedó en paréntesis en el segundo término.
Aplicamos caso 5 (Trinomio de la forma x2n+bxn+c) en el numerador.
Aplicamos caso 1 (Factor común) en los paréntesis formados.
Finalmente, simplificamos la fracción (para eliminar el denominador).
Ejemplo:
7. Suma y Diferencia de Cubos Perfectos
- Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo (el segundo término puede ser positivo o negativo).
- Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cubos perfectos (es decir números que tienen raíz cúbica exacta, como 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, etc.) y los exponentes de las letras son múltiplos de tres (3, 6, 9, 12, 15p, 18c, etc.).
Ejemplo:
RECOMENDACIONES GENERALES PARA FACTORIZAR POLINOMIOS
Siempre inicie revisando si el polinomio tiene factor común (caso 1). Si efectivamente lo hay, extráigalo y revise si se puede factorizar lo que queda dentro del paréntesis.
Si usted tiene un binomio, ensaye con los casos 3 y 7 (revise las características).
Si usted tiene un trinomio, ensaye los casos 4, 5 y 6 (revise las características).
Si usted tiene un polinomio de cuatro, seis o más términos (número par), ensaye el caso 2.
Siempre que realice una factorización inspeccione los factores obtenidos para ver si pueden ser factorizados nuevamente.
Bibliografía:
Ing. JULIO RÍOS (http://julioprofe.blogspot.com ; www.youtube.com/julioprofe) 2.009
